Minimum d'une fonction sur un intervalle - Exemple 1

Exemple 1

Voici la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle\([1;8]\), dans un repère orthonormé du plan.

On veut déterminer graphiquement le minimum de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([1;8]\).
Pour cela, on cherche l'ordonnée du point de \(C_f\) situé "le plus bas" : c'est  le point de coordonnées \((4,-2)\). Pour tout \(x\in[1;8]\;:f(x)\geq-2\). Donc \(-2\) est le minimum de \(f\) sur l'intervalle \([1;8]\) Comme \(f(4)=-2\), ce minimum est atteint en \(x=4\).
On peut aussi formuler de la manière suivante : \(f\) admet \(-2\) pour minimum sur l'intervalle \([1;8]\) qui est atteint en \(x=4\).

Remarque

Dans l'exemple précédent, on peut chercher le minimum de \(f\) non pas sur l'intervalle \([1;8]\) mais sur un intervalle restreint, sur l'intervalle \([1;2]\) par exemple.
On obtient alors ceci : le minimum de \(f\) sur l'intervalle \([1;2]\) est \(0\) et il est atteint en \(x=2\) .
Ce qui se traduit par : pour tout \(x\in [1;2]\;f(x)\geq0\) et \(f(2)=0\).